Як же виміряти швидкість руху молекул, якщо самих молекул не видно і мікроскоп з максимальним збільшенням? Чи не фантазія це? Як одержати пучок молекул, що рахуються прямолінійно й рівномірно, щоб, вимірявши пройдений молекулами за певний час шлях, можна було визначити їх швидкість?

Вперше вдалося визначити експериментально швидкість руху молекул німецькому фізикові Отто Штерну з співробітниками в 1920 р.

Ви мабуть, не один раз тримали в руках електричну лампочку, яка перегоріла, і можливо звернули увагу на те, що її балончик часто буває вкритий темним нальотом. Цей наліт є не що інше, як найтонший шар металу, з якого виготовлена нитка розжарення. При нагріванні нитки з її поверхні безперервно вилітають атоми металі і, досягши стінок балона, ударяються об них і осідають, утворюючи темний наліт. Ось це явище і було використане вченими для вимірювання швидкості руху атомів і молекул.

Якщо з скляного балончика старанно відкачати повітря, щоб атоми металу за час польоту від нитки до стінки балона не встигли зіткнутися з молекулами повітря, то в цьому випадку шлях кожного атома відомий: він починається на поверхні нитки і закінчується на стінці балона. Щоб визначити швидкість руху атомів, досить лише знати час руху атома від нитки до стінки балона. Для визначення часу атома від нитки до стінки балона. Для визначення часу руху атомів О.Штерн скористався способом, аналогічним тому, який застосується при визначенні швидкості куль. Нагадаємо його суть. На спільну вісь насаджують два тонкі диски і закріплюють їх на відстані L один від одного. При нерухомій осі куля пробиває обидва диски так, що отвори лежать один проти одного. Якщо ж вісь обертається з постійною кутовою швидкість , то за час, поки куля рухатиметься від першого диска до другого, диски повернуться на певний кут і куля проб’є другий диск у точці, повернутій по відношенню до місця влучення в перший диск, на тук . Тоді час повороту дисків, а отже, і час польоту кулі між дисками дорівнюватиме (це випливає з означення кутової швидкості ), а швидкість польоту кулі становитиме . Усі величини у правій частині формули легко можна виміряти і, отже, обчислити швидкість.

Як бачите, все досить просто, і власне за цим же принципом визначається час польоту атомів у досліді Штерна. Однак молекули або атоми, звичайно, не пробивають отворів, а тому при досліді з молекулами отвори в дисках або, вірніше, у циліндрах роблять заздалегідь.

Прилад Штерна для визначення швидкості руху молекул складається з двох циліндрів різних діаметрів, встановлених один в другий так, щоб їх осі суміщалися. Внутрішній циліндр має ширину, розміщену вздовж твірної циліндра. Вздовж осі циліндрів натягується платинова дротина, яку можна було розжарювати електричним струмом. Повітря з циліндрів відкачується добрим високовакуумним насосом до високої міри розрідження. Весь прилад може обертатися навколо осі. Платинову дротинку вкривають сріблом. Коли по платиновій дротині пропускати електричний струм, то дротина розжарюється. І з її поверхні випаровуються атоми срібла. Вони пролітають крізь щілину першого циліндра й конденсуються (осідають) на стінці другого циліндра. Таким чином, виникає ніби зображення щілин, подібне до зображень, утворюваних під час малярних робіт за допомогою трафарета. Поки прилад перебуває в спокої, зображення щілини на стінці зовнішнього циліндра знаходиться саме проти щілини.

Якщо прилад обертати навколо осі з постійною швидкістю, то наліт срібла виявиться розміщеним не проти щілини, а дещо зміщеним у бік на величину . Кожний атом, як і раніше, рухається прямолінійно, але за той час t, який потрібен атомові, щоб, пройшовши щілину долетіти до стінки зовнішнього циліндра, прилад встигає повернутися на кут , і атоми влучатимуть в інші точки поверхні циліндра. Коли б усі атоми рухалися з однаковою швидкістю v, то зображення щілини зміщувалося б, не змінюючи своєї форми, на деяку відстань . Вимірявши , можна визначити швидкість руху атомів.

Дійсно, якщо радіуси зовнішнього і внутрішнього циліндрів відповідно дорівнюють R і r, то . Величина зміщення зображення щілини.

або =, звідки .

Таким чином, вимірявши величину зміщення зображення щілини , кутову швидкість обертання циліндрів і радіуси циліндрів R s r, можна визначити швидкість атомів v.

На досліді спостерігалося не лише зміщення зображення щілини, але й розпливання його, обмовлене різницею в швидкостях руху атомів срібла. Цього й слід було чекати, оцінки атоми срібла вилітають з нитки розжарювання з різними швидкостями. Цілком зрозуміло, що більш швидкі атоми потрапляють на стінку зовнішнього циліндра з меншим зміщенням відносно місця потрапляння атомів при нерухомому приладі, ніж повільні атоми. При такій постановці досліду можна було визначити лише зміщення зображення для середини щілини і обчислити середню швидкість руху атомів. Одержані результати добре збігалися з висновками кінетичної теорії газів.

Внісши незначні зміни в будову приладу Штерна, можна не лише знайти максвеллівський закон розподілу молекул за швидкостями. Для цього на внутрішній поверхні більшого циліндра слід укріпити скляну пластинку в тому її місці, де осідають атоми срібла. Якщо після закінчення досліду розглянути зміщене зображення смужки, то за прозорістю нальоту срібла в різних частинах зміщеної смужки можна судити про кількість атомів, що потрапили в дану її частину, а отже, і про розподіл їх за швидкостями.

Такий дослід і справді провід О. Штерн, але досягнута точність вимірювань була недосить високою. Тому Штерн І Ламберт (у 1926 і 1929 рр.) використали дещо інший метод експериментальної перевірки закону розподілу молекул за швидкостями, який тех. Ґрунтувався на використанні методу молекулярних пучків.

Розглянемо суть досліду Ламберта, який дав найбільш точні результати. Джерелом пучка атомів у цьому досліді є ртуть, яка випаровується в печі А. При проходженні атомів через щілини S1 і S2 виділяється вузенький пучок атомів, який потім потрапляє на радіальний проріз першого обертового диска D1, подібного до зубчастого колеса. На тій же осі на відстані в 6 см від першого диска укріплено другий диск D2, в якому теж є прорізи по радіусу, але вони зміщені на 2о відносно прорізів першого диска. За диском D2 є третя щілина S3, аза нею – скляна пластинка Р, яка охолоджується рідким азотом (щоб атоми ртуті осідали на ній). За пластикою можна вести спостереження в мікроспор. Вся система (за винятком мікроскопа) знаходиться у високому вакуумі.

Цілком зрозуміло, що коли диски не обертаються, то пучок атомів ртуті не може потрапити на пластинку Р. Якщо ж вони обертаються, то при певному співвідношенні між швидкістю обертання і швидкостями молекул у пучку вони потрапляють на пластинку, і за допомогою мікроскопа на ній можна спостерігати наліт атомів ртуті. Легко зрозуміти, що з числа молекул, які пролетіли через щілину в першому диску, через другий диск пролетять лише ті, які підлетять до нього в той момент, коли на шляху пучка стане проріз у другому диску. Більш швидкі молекули досягнуть другого диска надто рано, а повільніші – надто пізно для того, щоб пройти через щілину. Таким чином, цей пристрій дає можливість виділити з пучка молекули, які мають певне значення швидкості (оскільки щілина має конечну ширину, то прилад виділяє молекули, швидкості яких лежать у межах певного інтервалу ). Середня швидкість виділених приладом молекул може бути знайдена з умови, що час t1, за який молекули пролітають відстань l між дисками , повинен збігатися з часом t2, за який диски повернуться на - кут зміщення прорізів у дисках . Прирівнявши ці два проміжки часу, дістанемо

Змінюючи швидкість обертання приладу (або кут між прорізати у диску ), можна виділяти з пучка молекули, які мають різні швидкості. Спостерігаючи осідання цих молекул на пластинці певний час, можна визначити їх відносну кількість у пучку.

Зупинімося на цьому детальніше. Коли б усі атоми ртуті мали однакові швидкості, тобто не існувало ніякого розподілу атомів за швидкостями, то видимий наліт атомів ртуті на скляній пластинці утворювався б за мінімальні проміжки часу, оскільки пучок, який пройшов через щілину S3, містив би всі атоми, виділені щілинами S1 і S2, якщо швидкості обертання дисків підібрані так, що перший, другий, третій і т.д. прорізи в диску D2 припадають проти щілини S3 у момент надходження туди атомів.

В даній роботі розглядається проблема класифікації нелінійних рівнянь теплопровідності, що допускають редукцію до систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Наведені класи нелінійних еволюційних рівнянь, анзаци та системи ЗДР, до яких за допомогою цих анзаців редукуються вихідні рівняння. Одержано нові класи рівнянь, що редукуються до системи чотирьох ЗДР.

Розглянемо рівняння

(1)

з додатковою умовою на функцію :

, (2)

де .

Редукцію рівняння (1) з квадратичними нелінійностями проведено в роботі [1] для випадків та . В [2] доведено, що для еволюційних рівнянь другого порядку не існує умовних симетрій порядку вище 5, тобто в рівнянні (2) .

В [3] було запропоновано новий метод класифікації нелінійних еволюційних рівнянь, що допускають умовні симетрії вищих порядків. Стосовно задачі (1), (2) цей алгоритм можна сформулювати так: диференціюємо (2) за змінною , а (1) разів за змінною ; вилучаємо з розгляду мішані похідні функції та похідні за змінною порядків, вищих за ; розщеплюємо одержане рівняння відносно та її похідних; роз’вязуємо одержану перевизначену систему рівнянь для знаходження явного вигляду та , для яких система (1),(2) є сумісною; знаходимо розв’язки рівняння (2). Підстановка одержаних анзаців

, (3)

де - фундаментальна система розв’язків рівняння (2), а - довільні функції, в рівняння (1) редукує останнє до системи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) першого порядку.

Випадок розглянутий в [4]. Застосувавши описаний алгоритм для одержуємо:

1) ,

де при та при ;

2) ,

, , ,

;

3) ,

.

: ,

.

: ,

.

Таким чином, в рамках даного підходу ми можемо розглядати рівняння (1) лише з квадратичними нелінійностями.

Зауваження 1. У випадку при одержано ряд додаткових умов виду (2), що дозволяють провести редукцію (1) до системи трьох ЗДР.Усі ці рівняння вдалось проінтегрувати. Одержані анзаци є частковими випадками анзаців, побудованих для . Ці результати будуть наведені нижче.

Зауваження 2. Випадок є новим, так як він не може бути одержаний, як частковий з випадку , наведеного в [1].

Зауваження 3. Заміною ми можемо вилучити з розгляду доданок . Якщо , то після заміни коефіцієнт при дорівнює 1. При , поклавши , одержимо, що коефіцієнт при дорівнює . Крім того, підстановка зводить випадок 3) () до випадку 1) при .

З урахуванням останнього зауваження наведем список нелінійних еволюційних рівнянь, відповідних їм рівнянь (2) , анзаців (3) та редукованих за їх допомогою систем ЗДР.

1. , .

,

.

,

.

,

.

2. ,

.

,

3. ,

.

,

,

,

4. , .

,

5. , .

,

6. , .

,

(4)

7. , .

,

(5)