1. Кристалографічні точкові групи і просторові групи.

2. Позначення точкових груп.

3. Позначення кубічних кристалографічних точкових груп.

4. Просторові групи.

1. Кристалографічні точкові групи і просторові групи.

Опишемо результати аналогічного аналізу проведеного для будь яких кристалічних структур, так як для решітки Браве. Візьмемо структури, які отримаються, коли будь який об’єкт піддати трансляціям які утворюють решітку Браве, і попробуємо класифікувати групи симетрії таких структур. Вони залежать як від симетрії об’єкта, так і від симетрії решітки Браве.

Існує 230 різних груп симетрії решіток з базисом - 230 просторових груп (коли накладено умову повної симетрії базису існує тільки 14 просторових груп).

Для Решітки Браве існує 7 точкових груп (7 кристалографічних систем) і 14 просторових груп (Решіток Браве).

Для кристалічних структур (базис довільної симетрії) є 32 кристалографічних точкових груп і 230 просторових груп.

Точкові групи описують операції симетрії, які переводять кристалічну структуру в саму себе і залишають і залишають при цьому нерухомою одну з її точок, тобто не трансляційні елементи симетрії. Кристалічна структура може мати 32 різних точкових груп які можна побудувати з 7 точкових груп решітки Браве, розглядаючи систематично всі можливі способи пониження симетрії об’єктів на фігурах які описуються цими групами.

Побудова дає 25 нових груп. Кожна з них зв’язана з одною з 7 кристалічних систем за наступним правилом: будь яка група, побудована шляхом пониження симетрії об’єкта, який описується деякою кристалічною системою, продовжує належати цій системі доти, доки симетрія не понизиться настільки, щоб усі операції симетрії об’єкта які залишились, можуть бути знайдені також і в менш симетричній кристалічній системі; коли це відбувається, групу симетрії об’єкта відносять до менш симетричної системи. Тому кристалографічна точкова група належить до кристалічної системи, яка має найменшу симетрію з 7 точкових груп решітки Браве, які мають усі операції симетрично даної кристалографічної групи.

Об’єкти з симетрією 5 кристалографічних точкових груп, які відносяться до кубічної системи , мають вигляд(мал. 1):

Кристалографічні точкові групи можуть мати операції симетрії наступного виду:

1. Повороти на кут, кратний 2π ∕ n, кругом деякої осі. Таку вісь називають віссю n-го порядку. Легко показати, що решітки Браве можуть мати тільки осі 2,3,4,6-го порядку. Оскільки кристалографічні точкові групи містяться в точкових групах решіток Браве, вони також можуть мати лише вісь цього порядку.

2. Повороти з віддзеркаленням. Навіть якщо поворот на кут 2π ∕ n не являється елементом симетрії, деколи такий поворот з наступним віддзеркаленням в площині , яка перпендикулярна його осі, може належати групі симетрії. Тоді таку вісь називають дзеркально – поворотна вісь n-го порядку. Наприклад групи S6, S4 мають дзеркально поворотні осі 6-го і 4-го порядку(мал.2).

3.Повороти з інверсією. Деколи поворот на кут 2π ∕ n наступною інверсією відносно точки, яка лежить на осі повороту, виявляється елементом симетрії, хоча сам такий поворот ним не являється.

Тоді таку вісь називають інверсійною віссю n-го порядку. Вісь в групі S4(мал.2) є і інверсійною віссю 4-го порядку. Вісь в групі S6 являється тільки інверсійною віссю 3-го порядку.

4.Відбивання. Віддзеркалення переводить кожну точку в її дзеркальне відображення відносно деякої площини, яка називається дзеркальна.

5.Інверсії. При інверсії є тільки одна нерухома точка. Якщо цю точку взяти за початок відліку, то люба інша точка r переходить в- r.

2.Позначення точкових груп.

Широко використовується дві системи позначення – міжнародна і запропонована Шенфлісом.

Позначення Шенфліса для не кубічних кристалографічних груп.

Пояснимо ці позначення:

Сn : групи містять тільки осі n-го порядку;

Сnv : крім осей n-го порядку, групи мають дзеркальну площину, яка має вісь обертання плюс таке число додаткових дзеркальних площин, якого потребує існування осі n-го порядку;

Сnh : крім осей n-го порядку, групи мають дзеркальну площину перпендикулярну цій осі;

Sn : групи містять тільки дзеркально – повертаючу вісь n-го порядку;

Dn : крім осей n-го порядку, групи містять вісь 2-го порядку перпендикулярну осі n-го порядку, плюс стільки дадаткових осей 2-го порядку, скільки потребує існування осі n-го порядку.

Dnh : ці групи містять всі елементи групи Dn, „+” дзеркальну площину, перпендикулярну осі n-го порядку;

Dnd : групи містять всі елементи групи Dn, „+” дзеркальні площини які мають вісь n-го порядку і ділять на половину , кути між осями 2-го порядку.

Міжнародні позначення для не кубічних кристалографічних точкових груп.

Три символи, які використовують в міжнародних позначеннях, співпадають за змістом з позначеннями Шредінгера:

n співпадає з Сn ;

nmm співпадає з Сnv;

Два символи m вказує на існування двох різних типів дзеркальних площин, які містять вісь n-го порядку. Щоб їх представити, треба звернутись до зображення об’єктів, які належать групам 6mm, 4mn і 2mn. Вони показують, що вісь 2j-го порядку переводить вертикальну дзеркальну площину в j дзеркальну площину, но тут автоматично виникає ще j других площин, які ділять на половину кути між суміжними площинами в першому наборі.

Вісь (2j+1)- го порядку, переводить дзеркальну площину в 2j+1 еквівалентних площин, в зв’язку з цим група С3v позначають тільки як 3m.

n22 співпадає з Dn. В цьому випадку справедливі ті ж роздуми, що і для класу nmm, но тепер ми маємо перпендикулярні осі 2-го порядку, а не вертикальні площини.

n/m співпадають з групою Cnh, хоча є така різниця : в міжнародній системі віддають перевагу вважати що групаC3h містить інваріантну вісь 6-го порядку тому її позначають 6. Відмітимо, що група C1h позначають просто як m, а не як 1/m.

n є група з інверсійною віссю n-го порядку. Вона містить також групи S4, яка дуже гарно переходить в 4. Однак S6 перетворюється в 3, а S2 – в 1 через різницю між дзеркально- поворотною віссю і інверсійною.

{ },або коротко n/mmm співпадає з класом Dnh, але має таку відмінність : в міжнародній системі переважає думка, що група D3h містить інверсійну вісь 6-го порядку і позначають цю групу як 62m.

n2m співпадає з Dnd, крім того, що в цьому класі під позначенням 62m входить група D3h. Позначення повинно нагадувати про існування інверсійної осі n-го порядку з перпендикулярної їй віссю 2-го порядку і про наявність вертикальної дзеркальної площини.

3. Позначення кубічних кристалографічних точкових груп.

Міжнародні позначення і позначення Шенфліса для 5-ти кубічних груп приведині на мал.1 . Група Оh є повна група симетрії куба, вклбчаючи не власні операції, які допускаються горизонтальною дзеркальною площиною (h). Група О представляє собою групу куба, яка не містить невласних операцій ; Тd є повна група симетрії правильного тетраїда, виключаючи всі невласні операції; Т-група правильного тетраїда без не власних операцій; Тh отримується, якщо до Т добавити операцію інверсії.

Міжнародні позначення для кубічних груп більш зручні, ніж позначення других кристалографічних точкових груп, оскільки в якості другого символа вони містять цифру 3, яка вказує на наявність в всіх кубічних групах осі обертання 3-го порядку.

4. Просторові групи.

Для кожної кристалічної системи можна побудувати кристалічну структуру з іншою просторовою групою, поміщаючи об’єкт з симетрією кожної з точкових груп цієї системи в кожну з решіток Браве системи. Таким чином вдається отримати тільки 61 просторову групу як це видно в таб.3.

Перерахунок просторових груп.

Інші 7 груп виникають в тих випадках, коли об’єкт з симетрією даної точкової групи може бути орієнтований в решітці Браве кількома способами, через що появляється декілька просторових груп. Всі такі 73 просторові групи називаються симорфними.

Більшість просторових груп не симорфні і містять операції, які не можуть бути побудовані з трансляції, які утворюють решітку Браве і операції точкових груп.

Для наявності подібних додаткових операцій необхідно існування будь-яких визначених співвідношень між розмірами базису і періодами решіток Браве. Коли розміри базису знаходяться в певному співвідношенні з довжинами основних векторів решітки, можуть появлятись два нових типа операцій.

1.Винтові осі. Кристалічна структура з гвинтовою віссю переходить в саму себе при трансляції на вектор, який не належить решітці Браве, з наступним поворотом навколо осі , вздовж якої проходить трансляція.

2.Площини ковзання. Кристалічна структура з площиною ковзання переходить в саму себе при трансляції на вектор , який не належить решітці Браве, з наступним відображенням в площині, яка містить цей вектор.

Як показано на мал.3 густо упакована структура інваріантна відносно цих двох типів операцій. Остання виконується тільки тому, що відстань між двома точками базису вздовж осі рівна половині відстані між площинами решітки.

Як міжнародну систему, так і систему Шенфліса які застосовуються для позначення просторових груп в тих рідких випадках, коли це необхідно, можна знайти.